Planilàndia és un món que només té dues dimensions. Els seus habitants són tot tipus de figures planes que no són capaços de mirar cap a dalt o cap a baix, no poden veure les seues limitacions i d’això se n’aprofita la classe domintat.

 

La societat, a Planilàndia, s’estructura en una rígida jerarquia. Des dels esclaus, formats per una única línia (és a dir, de dimensió 1) que formarien l’estrat inferior, fins als polígons regulars amb gran nombre de costats, que formen les classes dominants. La (seua) perfecció s’assoleix amb els sacerdots que tenen forma circular.

Els triangles serien els ciutadans lliures de l’estrat més baix i, dins d’aquests, els triangles escalens o isòscel·les tenen menys drets que els triangles equilàters. És fàcil veure que, en aquesta societat, es busca la perfecció a través de la regularitat i la igualtat. No estan ben vistos els habitants “diferents”.

 

Un dia Quadrat té un somni i es trasllada a un món unidimensional. En aquest somni tracta d’entendre que els habitants de Linialàndia són només punts, segments, semirrectes i rectes. I, aleshores, tracta de fer-los entendre l’existència d’una nova dimensió, la segona, el món d’on ell ve. I no és capaç. Es despertà sobtadament i amb angoixa perquè el que estava somiant era trascendental, com podia ser que no pogués explicar-los l’existència d’una cosa tan senzilla i trivial? Si ho veia cada dia…

 

Quan creia que ho tenia oblidat, un altre dia, va somniar en un món de dimensió zero, Puntilàndia, on només hi havia un punt que ho ocupava tot i que no tenia cap interés en pensar en altres existències. No li va dedicar molt d’esforç, si no va ser capaç de fer-ho entendre als qui estaven a Linialàndia, a només una dimensió de distància d’ell, no ho seria en aquest món on semblava que, qui hi vivia, no en necessitava més.

Però, aquesta vegada, després d’aquest somni, va pensar… “i per què no hi pot haver una dimensió MÉS que la nostra?” “Per què assumim que no podem viure en un món tridimensional?” Alguns dies posteriors hi va pensar. S’imaginava que hi havia alguna cosa més… en algun altre món… però no sabia ben bé de quina forma podia ser.

 

El tercer dels somnis va ser revelador. En aquest somni apareixia una esfera, una figura que li va costar molt d’entendre perquè la confonia amb un dels cercles que representaven els sacerdots. Deia l’esfera: “dona una volta per aquí davant”, però què significava “aquí davant”? Quan, finalment, va aconseguir entendre que hi podia haver una nova dimensió i que l’esfera formaria part d’aquest món, es va interessar molt per la seua forma de vida, la diferència entre piràmides i prismes, els estrats que representaven cada un d’ells. I li va agradar tant la història que li va explicar l’esfera que va decidir fer tot el possible per conèixer aquest món.

Quan es va despertar no podia creure’s totes les coses que estaven “bollint” al seu cap. Serà cert això? Existirà un món així? A qui li ho podria explicar? Com es podria informar? Com podia investigar això? Si Quadrat anava a parlar dels seus somnis i inquietuds amb els erudits i les classes altes no li farien cas… passaria com va passar a Puntilàndia, ells hi viuen molt bé aquí i no tindran cap interés en canviar-ho. De fet… potser tenien interés en què ningú conegués l’existència d’altres mons , fins i tot, podrien arrestar-lo i acusar-lo d’heretgia… era millor parlar-ho amb qui poguera tindre aquesta curiositat i aquestes ganes de conèixer què hi ha més enllà.

 

Llavors Quadrat va parlar amb un amic, que tenia dos altres amics, i aquests ho van comentar als seus amics… tots ells eren triangles (hi havia algun quadrilàter també) i els va citar per a un dia i un lloc que no podem comunicar per por de ser interceptats.

En aquella reunió els va explicar els somnis que havia tingut i, sobretot, l’esperança de l’existència d’altres mons amb altres dimensions. En aquests mons podrien ser lliures, podrien tindre molts dels drets que aquí ni tan sols aspiren a tenir; podrien ser feliços. Però tot això tenia un risc, els polígons regulars de més costats, la classe governant, els acusaria de qüestionar la jerarquia social o el pensament únic i serien empresonats per sempre. Per això una part dels assistents a aquella reunió van marxar (amb el compromís de no delatar als seus amics). Però uns altres es van quedar i van signar “el compromís dels polígons”. A partir d’aquell moment investigarien l’existència de noves dimensions per a, després, tractar d’entendre com podria ser la seua adaptació i poder donar el salt a aquell nou món. El risc era gran, però la recompensa final ho era més.